组合 ( S t o c k , B o n d ) (Stock,Bond) (Stock,Bond) 比例为 ( △ , B ) (\triangle,B) (△,B)

{ C u = △ u S 0 + B e r C d = △ d S 0 + B e r \begin{cases} C_u = \triangle uS_0 + Be^r \\ C_d = \triangle dS_0 + Be^r \\ \end{cases} {Cu​=△uS0​+BerCd​=△dS0​+Ber​ 直接解出 { △ = C u − C d ( u − d ) S 0 B = u C d − d C u e r ( u − d ) \begin{cases} \triangle = \frac{C_u-C_d}{(u-d)S_0} \\ B = \frac{uC_d-dC_u}{e^r(u-d)} \\ \end{cases} {△=(u−d)S0​Cu​−Cd​​B=er(u−d)uCd​−dCu​​​ 由于这个组合完全复制了衍生品在 1 时刻的支付，由无套利的原理，这个组合 0 时刻的价格就应该等于衍生品 0 时刻的价格。因此，衍生品在 0 时刻的价格应为 C 0 = △ S 0 + B = e − r [ e r − d u − d C u + u − e r u − d C d ] C_0 = \triangle S_0 + B = e^{-r}[\frac{e^{r}-d}{u-d}C_u + \frac{u-e^{r}}{u-d}C_d] C0​=△S0​+B=e−r[u−der−d​Cu​+u−du−er​Cd​]

定义:Delta

Delta 对冲

Delta 对冲的关键

以看涨期权为例，当股价变高时，衍生品的 △ \triangle △会随之增大(股价远低于行权价时,股价上涨一点，衍生品的价格变动没那么明显)，那么需要的买入用于对冲的股票就越多，那么Delta对冲就有一个很明显的特点:

因为每天的股价都在波动，人为构造的这个组合的 △ \triangle △也会随之改变，那么要做到Delta对冲，就必须

动态对冲的实现有赖于市场的持续交易。市场参与者在买入或卖出衍生品之后，需要持续不断的交易来对冲掉衍生品头寸带来的风险。这个过程中，如果市场交易停止（比如因为 911 这样的重大突发事件），那么动态对冲就无法实现，将会让很多之前衍生品头寸变成裸头寸，极大增加市场参与者所面临的风险。因此，越是发生重大突发事件的时候，越需要确保具有充足的流动性可以完成参与者的交易。这是市场监管者在重大事件发生时的首要责任。否则，容易引发市场参与者的大面积破产，引发系统性金融危机。

Delta对冲也可以用于套利交易，具体操作是

前面介绍了用标的资产来对冲某一衍生品的方法。这一方法可以拓展至对某个由衍生品组成的投资组合的对冲。这需要计算投资组合的 Delta。与单个衍生品定理相类似的，某个总价值为 Π \Pi Π 的投资组合的 Delta，就是 ∂ Π ∂ S \frac{\partial{\Pi}}{\partial{S}} ∂S∂Π​。一个包含 n 种期权的组合，其 Delta 可以由如下公式计算 △ Π = ∑ i = 1 n w i △ i \triangle_{\Pi} = \sum_{i=1}^n w_i \triangle_i △Π​=i=1∑n​wi​△i​

一个组合的 Gamma（ Γ \Gamma Γ），是这个组合的 Delta 对标的资产价格的偏导数，也即组合价值对标的资产价格的二阶偏导数 Γ = ∂ △ ∂ S = ∂ 2 C ∂ S 2 \Gamma = \frac{\partial{\triangle}}{\partial{S}} = \frac{\partial^2{C}}{\partial{S^2}} Γ=∂S∂△​=∂S2∂2C​ Γ \Gamma Γ表示了 △ \triangle △变化的快慢，组合的 Γ \Gamma Γ 越小，意味着组合的 Delta 对标的资产价格的变化越不敏感，因而变化越缓慢。这样，为了保持组合处在 Delta 中性状态所需的调整也不需要太频繁。相反，如果组合的 Γ \Gamma Γ 很大，组合就很容易因为标的资产价格的变化而明显偏离 Delta 中性的状态。这样一来，如果不对组合做频繁调整，就会面临相当大的风险。

与组合的Delta与Gamma的关系与债券的久期与凸性的关系很类似，当股票价格从 S S S 变为 S ′ S' S′时，Delta 对冲假设期权价格从 C C C 变化到 C ′ C' C′。但事实上，期权价格是从 C C C 变化到 C ′ ′ C'' C′′。 C ′ C' C′与 C ′ ′ C'' C′′之间的差异就是“对冲误差”（hedging error）。对冲误差的大小取决于描述期权价格与股票价格关系的这根曲线的曲率（curvature）。组合的 Gamma 越大，这条曲线的曲率就越大，Delta 对冲的对冲误差就越大。所以，Gamma 有时被业内人员称为期权的曲率。

对于股票来说，他对自己的二阶导为0：

给出调 Γ \Gamma Γ的思路

但是一般来说，去调Gamma是比较奢侈的，因为没有那么多衍生品适合用于调Gamma，所以相对于Gamma,Delta是更常见的，Delta基本收盘必做，Gamma则不一定。

我们可以将

组合的 Vega（ V V V）是组合价值对标的资产波动率的偏导数 V = ∂ Π ∂ σ V = \frac{\partial{\Pi}}{\partial{\sigma}} V=∂σ∂Π​

那些 Vega 的绝对值很高的组合，对标的资产波动率的变化很敏感。由于标的资产本身的 Vega是 0，所以为了改变组合的 Vega，需要在组合中加入期权。类似前面的 Gamma；

Θ = ∂ Π ∂ t P = ∂ Π ∂ r S p e e d = ∂ Γ ∂ S C h a r m = ∂ △ ∂ t C o l o u r = ∂ Γ ∂ t V a n n a = ∂ △ ∂ σ V o l g a = ∂ V ∂ σ \Theta = \frac{\partial{\Pi}}{\partial{t}} \\ \quad \\ \Rho = \frac{\partial{\Pi}}{\partial{r}} \\ \quad \\ Speed = \frac{\partial{\Gamma}}{\partial{S}} \\ \quad \\ Charm = \frac{\partial{\triangle}}{\partial{t}} \\ \quad \\ Colour = \frac{\partial{\Gamma}}{\partial{t}} \\ \quad \\ Vanna = \frac{\partial{\triangle}}{\partial{\sigma}} \\ \quad \\ Volga = \frac{\partial{V}}{\partial{\sigma}} \\ \quad \\ Θ=∂t∂Π​P=∂r∂Π​Speed=∂S∂Γ​Charm=∂t∂△​Colour=∂t∂Γ​Vanna=∂σ∂△​Volga=∂σ∂V​

投资者所需要的期权未必是存在的。比如，投资者拥有由一篮子股票组成的一个组合，希望能够对组合下跌的风险加以对冲。对于这种个性化的组合的期权在市场上恐怕很难找到。但前面的介绍提示我们，就算没有现成的期权在市场上交易，投资者完全也可以通过动态交易股票，构造出一个这样的期权来保护自己的组合。这就是组合保险（portfolio insurance）的思路。

组合保险本质上就是做Delta对冲, 保持手里的一篮子股票不动，通过买卖股债将Delta调至中性即可；

组合保险的几个特点

基于之前多期二叉树的实现，在上面加一个计算Delta值的功能再简单不过，直接给出完整代码；